ЗАДАЧИ ПО МЕХАНИКЕ

1.            Две материальные точки движутся согласно уравнениям: X₁ = A₁t+B_lt²+C₁t³, где A_l = 4 м/с, B_l = 8 м/с², C₁ = -16 м/с³; Х₂ = A₂t+B₂t²+C₂t³, где А₂ = 2 м/с, В₂ = -4 м/с², С₂ = 1 м/с³. В какой момент времени ускорения этих точек будут одинаковы? Найти скорости точек в этот момент времени.

2.            Вертикально вверх с начальной скоростью V₀ = 20 м/с брошен камень. Через 1 с после этого брошен вертикально вверх второй камень с такой же скоростью. На какой высоте h встретятся камни?

3.            Пароход идет по реке от пункта А до пункта В со скоростью V₁ = 10 км/ч, а обратно – со скоростью V₂ = 16 км/ч. Найти: 1) среднюю скорость парохода; 2) скорость течения реки.

4.            Свободно падающее тело в последнюю секунду проходит половину своего пути. Найти: 1) с какой высоты падает тело; 2)продолжительность его падения.

5.            Точка движется по окружности радиусом 10 м. Закон ее движения выражается уравнением S = 4 - 2t² + t⁴. В какой момент времени тангенциальное ускорение точки будет равно 44 м/с²? Найти нормальное ускорение точки в этот момент времени.

6.            Зависимость пройденного телом пути S от времени t дается уравнением S = А + Bt – Сt² + Dt³, где С = 0,14 м/с², D = 0,01 м/с³. Через сколько времени после начала движения ускорение тела будет равно 1 м/с2? Чему равно среднее ускорение тела за этот промежуток времени?

7.            Точка движется по окружности так, что зависимость пути от времени дается уравнением S = А + Bt + Ct², где В = -2 м/с, С = 1 м/с². Найти линейную скорость точки, ее тангенциальное, нормальное, полное ускорение через t = 3 с после начала движения, если известно, что нормальное ускорение точки при t₁ = 2 с равно а_n1 = 0,5 м/с².

8.            По наклонной доске пустили катиться снизу вверх шарик. На расстоянии 30 см от начала пути шарик побывал дважды: через 1 с и через 2 с после начала движения. Определить начальную скорость и ускорение движения шарика, считая его постоянным.

9.            Камень брошен в горизонтальном направлении. Через 0,5 с после начала движения численное значение скорости камня стало в 1,5 раза больше начальной. Найти начальную скорость камня. Сопротивление воздуха не учитывать.

10.        Тело брошено со скоростью V₀ = 10 м/с под углом α = 45⁰ к горизонту. Найти радиус кривизны траектории тела через t = 1 с после начала движения. Сопротивление воздуха не учитывать.

11.        Тело брошено со скоростью V₀ под углом α к горизонту. Найти величины V₀ и α, если известно, что наибольшая высота подъема тела h = 3 м и радиус кривизны траектории тела в верхней точке R = 3 м. Сопротивление воздуха не учитывать.

12.        Диск радиусом R = 20 см вращается согласно уравнению φ = А + Bt + Ct³, где А = 3 рад, В = -1 рад/с, С = 0,1 рад/с³. Определить тангенциальное a_t, нормальное а_n и полное ускорение а точек по окружности диска для момента времени t = 10 с.

13.        На подставке высотой h = 5 м лежит шар массой М = 200 г. Пуля массой rn = 10г, летящая в горизонтальном направлении со скоростью V = 500 м/с, пробивает шар точно по диаметру. На каком расстоянии L упадет на землю пуля, если шар падает на землю на расстоянии 1 = 20 м от основания подставки?

14.        Небольшое тело пустили снизу вверх по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α= 15⁰. Найти коэффициент трения, если время подъема оказалось в n = 2,0 раза меньше времени спуска.

15.        С каким ускорением надо поднимать груз на веревке, чтобы сила натяжения веревки была в 2 раза больше веса груза?

16.        Шар массой m₁ = 5 кг движется со скоростью V₁ = 2 м/с и сталкивается с покоящимся шаром массой m₂ = 3 кг. Вычислить изменение кинетической энергии шаров при прямом центральном неупругом ударе.

17.        Конькобежец массой 70 кг, стоя на коньках на льду, бросает в горизонтальном направлении камень массой 3 кг со скоростью 8 м/с. Найти, на какое расстояние откатится при этом конькобежец, если известно, что коэффициент трения коньков о лед μ = 0,02.

18.        На пружине длиной l = 30 см висит груз массой m = 4 кг. При увеличении нагрузки до m₁ = 10 кг длина пружины становится равной 1₁ = 36,5 см. Определить работу растяжения пружины.

19.        Снаряд, летевший со скоростью V = 400 м/с, разорвался на два осколка. Меньший осколок, масса которого составляет 40% от массы снаряда, полетит в противоположном направлении со скоростью V₁ = 150 м/с. Определить скорость большого осколка.

20.        Камень массой 2 кг упал с некоторой высоты. Падение продолжалось 1,43 с. Найти кинетическую и потенциальную энергию камня в средней точке пути. Сопротивлением воздуха пренебречь.

21.        В тело массой m = 900 г, лежащее на горизонтальной поверхности, попадает пуля и застревает в нем. Масса пули m_о = 10 г, скорость пули направлена горизонтально и равна V₀ = 700 м/с. Какой путь пройдет тело до остановки, если коэффициент трения между телом и поверхностью μ = 0,05.

22.        Шайбу положили на наклонную плоскость и сообщили направленную вверх начальную скорость V₀. Коэффициент трения между шайбой и плоскостью равен μ. При каком значении угла наклона α шайба пройдет вверх по плоскости наименьшее расстояние? Чему оно равно?

23.        Два неупругих шара массой m_l = 2 кг и m₂ = 3 кг движутся со скоростями V₁ = 8 м/с и V₂ = 4 м/с навстречу друг другу. Найти работу А деформации шаров.

24.        Движущееся тело массой m_l ударяется о неподвижное тело массой m₂. Считая удар неупругим и центральным, найти, какая часть первоначальной кинетической энергии переходит при ударе в тепло. Решить задачу в общем виде, а затем – для случаев: 1) m_l = m₂; 2) m_l = 9 m₂.

25.        Маховик вращается по закону, выражаемому уравнением φ = А + Bt + Ct², где А = 2 рад, В = 32 рад/с, С = -4 рад/с². Найти среднюю мощность, развиваемую силами, действующими на маховик при его вращении, до остановки, если его момент инерции I = 100 кг*м².

26.        Шар и сплошной цилиндр, двигаясь с одинаковой скоростью, вкатываются вверх по наклонной плоскости. Какое из тел поднимается выше? Найти отношение высот подъема.

27.        Два маленьких шарика массой m = 10 г каждый скреплены тонким невесомым стержнем длиной l = 20 см. Определить момент инерции системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через центр тяжести.

28.        Стержень массой 2 кг и длиной 1 м может вращаться вокруг оси, проходящей через его середину, перпендикулярную стержню. В конец стержя попадает пуля массой 10 г, летящая перпендикулярно оси и стержню со скоростью 500 м/с. Определить угловую скорость, с которой начнет вращаться стержень, если пуля застревает в нем.

29.        Через блок радиусом R = 3 см перекинули шнур, к концам которого привязаны грузы массами m_l = 100 г и m₂ = 120 г. При этом грузы пришли в движение с ускорением а = 3 м/с². Определить момент инерции блока. Трение при вращении не учитывать.

30.        На цилиндр намотана тонкая гибкая нерастяжимая лента, массой которой по сравнению с массой цилиндра можно пренебречь. Свободный конец ленты прикрепили к кронштейну и предоставили цилиндру возможность опускаться под действием силы тяжести. Определить линейное ускорение оси цилиндра, если цилиндр сплошной.